Una de las primeras alternativas a la lógica clásica vino de la mano de L. E. J. Brouwer (1881-1966). Éste se oponía la proyecto de Frege y Russell de reducir las matemáticas a la lógica. Pensaba que las matemáticas descansan en "intuiciones" básicas acerca de lo que son ciertas entidades matemáticas elementales (como el número y la línea). De ahí que su concepción se conozca como "Intuicionismo". Intentó mostrar que las demostraciones matemáticas funcionan simplemente de modo diferente al de las lógicas. En particular, mostró que en algunos casos, en matemáticas, no funciona la ley del tercio excluso. Es decir, en matemáticas ¬¬p no siempre es lo mismo que p.
Brouwer se centró sobretodo en casos de conjuntos y series infinitos. Por ejemplo: El conjunto de todos los números positivos y la serie de dígitos que comprende números irracionales como Π y la raíz cuadrada de 2. El argumento podría expresarse así:
Puedo demostrarles lógicamente que la secuencia 666 debe aparecer en algún lugar del despliegue de cualquier número irracional como Π. Decir que no figura es decir que, para todos los dígitos de Π, no es el caso de que la secuencia 666 aparezca en ellos, lo cual no puede demostrarse matemáticamente. Incluso si llenamos todo el papel del mundo con los dígitos, seguirá habiendo infinitamente más dígitos que no habremos revisado. Pero si no es cierto que todos los dígitos de Π no contienen la secuencia 666, entonces por la ley del tercio excluso, es cierto que la secuencia aparece en algún lugar. Es lo que se conoce como el argumento del diablo. Este argumento no puede tolerarse, de tal forma que la ley del tercio excluso no puede palicarse a los conjuntos o series infinitas en matemáticas.
El argumento de Brouwer también puede mostrar que algunas ramas de las matemáticas también funcionan conforme a una lógica distinta. Algunos desarrollaron incluso una lógica tal e intentaron mostrar que se trata de la lógica de todas las matemáticas. La denominaron "lógica intuicionista". Lo esencial es que no incluye la regla ¬¬p = p. A menos que exista algún método claro para demostrar que ¬¬p es verdadero. Esto nos permite usar esta regla en casos de conjuntos finitos, por ejemplo, pero excluye el caso de conjuntos y series infinitos.
Una característica de la lógica intuicionista es que en ella no funciona el método de la reductio de Leibniz. Con la reductio demostramos un enunciado matemático suponiendo su opuesto y llegando a una contradicción. Pero el paso de "su negación es falsa" a "es verdadero" se basa en la ley del tercio excluso. El método de la reductio no nos proporciona una construcción de la expresión matemática a partir de los axiomas de alguna rama de las matemáticas, tal como se supone que funcionan las matemáticas. Sin ofrecer una demostración de la expresión la reductio quiere mostrar que debe ser verdadera porque su negación es falsa. Esto no existe en la lógica intuicionista. El problema es que muchos enunciados matemáticos fundamentales, que todo el mundo está dispuesto a aceptar, sólo se han demostrado mediante la reductio.
Durante la década de los 30 esto condujo a una nueva moda matemática: Hallar demostraciones para algunas expresiones matemáticas elementales y de uso frecuente mediante la lógica intuicionista. Se encontraron muchas de ellas. Hasta Gödel se interesó por el asunto.
Brouwer se centró sobretodo en casos de conjuntos y series infinitos. Por ejemplo: El conjunto de todos los números positivos y la serie de dígitos que comprende números irracionales como Π y la raíz cuadrada de 2. El argumento podría expresarse así:
Puedo demostrarles lógicamente que la secuencia 666 debe aparecer en algún lugar del despliegue de cualquier número irracional como Π. Decir que no figura es decir que, para todos los dígitos de Π, no es el caso de que la secuencia 666 aparezca en ellos, lo cual no puede demostrarse matemáticamente. Incluso si llenamos todo el papel del mundo con los dígitos, seguirá habiendo infinitamente más dígitos que no habremos revisado. Pero si no es cierto que todos los dígitos de Π no contienen la secuencia 666, entonces por la ley del tercio excluso, es cierto que la secuencia aparece en algún lugar. Es lo que se conoce como el argumento del diablo. Este argumento no puede tolerarse, de tal forma que la ley del tercio excluso no puede palicarse a los conjuntos o series infinitas en matemáticas.
El argumento de Brouwer también puede mostrar que algunas ramas de las matemáticas también funcionan conforme a una lógica distinta. Algunos desarrollaron incluso una lógica tal e intentaron mostrar que se trata de la lógica de todas las matemáticas. La denominaron "lógica intuicionista". Lo esencial es que no incluye la regla ¬¬p = p. A menos que exista algún método claro para demostrar que ¬¬p es verdadero. Esto nos permite usar esta regla en casos de conjuntos finitos, por ejemplo, pero excluye el caso de conjuntos y series infinitos.
Una característica de la lógica intuicionista es que en ella no funciona el método de la reductio de Leibniz. Con la reductio demostramos un enunciado matemático suponiendo su opuesto y llegando a una contradicción. Pero el paso de "su negación es falsa" a "es verdadero" se basa en la ley del tercio excluso. El método de la reductio no nos proporciona una construcción de la expresión matemática a partir de los axiomas de alguna rama de las matemáticas, tal como se supone que funcionan las matemáticas. Sin ofrecer una demostración de la expresión la reductio quiere mostrar que debe ser verdadera porque su negación es falsa. Esto no existe en la lógica intuicionista. El problema es que muchos enunciados matemáticos fundamentales, que todo el mundo está dispuesto a aceptar, sólo se han demostrado mediante la reductio.
Durante la década de los 30 esto condujo a una nueva moda matemática: Hallar demostraciones para algunas expresiones matemáticas elementales y de uso frecuente mediante la lógica intuicionista. Se encontraron muchas de ellas. Hasta Gödel se interesó por el asunto.
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