jueves, 17 de diciembre de 2009

Lógica borrosa


Un matemático polaco, Jan Łukasiewicz (1897-1956) abordó viejos problemas que se sabía que existían desde Aristóteles a Russell. La lógica está mal equipada para dar cuenta de palabras como "posible" o "necesario", así como de enunciados relativos al futuro. ¿Cómo determinar el valor de verdad de "la nieve caerá sobre el Big Ben dentro de 1000 años?

Łukasiewicz quería un sistema lógico capaz de incorporar y dar cuenta de estos elementos del lenguaje, así que diseñó una lógica con 3 valores de verdad: Verdaero, falso y "posible". Para ello tuvo que establecer nuevas reglas para todas las conectivas lógicas. ¿Cuál sería el valor de verdad de pΛq cuando p es verdadero y q es posible?. Para solucionar esto es más facil concebir los valores de verdad como números. Verdadero y falso se han representado también como 1 y 0, así que el tercer valor de verdad puede ser tratado como 1/2. Con los números, el valor de verdad de pΛq sería el menor de los valores de verdad de p y q:

  • p es 1 y q es 1/2
  • pΛq es también 1/2
Análogamente, el valor de verdad de pVq es el mayor de los valores de verdad de p y q, de modo que si p es 0 y q es 1/2, el valor de pVq sería también 1/2.

El valor de ¬p sería 1 menos el valor de p, de modo que si p es posible (1/2), su negación también es posible.

En este tipo de lógica no funciona ni la ley del tercio excluso ni la ley de no contradicción. Es falso decir que o bien p es verdadero o bien ¬p es verdadero, pues p puede ser también posible. También es falso decir que p y ¬p pueden tener el mismo valor de verdad. No obstante, la ley de no contradicción funciona de un modo algo diferente: Si p es verdadero, entonces ¬p no puede ser también verdadero, y viceversa. Así que puede demostrarse que ¬¬p=p.

Esta lógica es consistente pese a no aplicar 2 leyes fundamentales, y las definiciones de las conectivas lógicas que proponía Łukasiewicz pueden apliarse a la creación de lógicas con un número cualquiera de valores de verdad, desde 3 hasta infinitos. Si queremos por ejemplo una lógica con 7 valores de verdad, sólo tenemos que asignar a cada valor de verdad el valor numérico de 1/6: 0 - 1/6 - 2/6 (1/2) - 4/6 - 5/6 - 6/6 (1)

De esta forma nació la lógica polivalente, más conocida con el nombre de Lógica Borrosa, que se aplica en el campo de las máquinas electrónicas. La mayor parte de conmutadores son de sí/no o de encendido/apagado. Pero ahora se pueden usar conmutadores con más de 2 posiciones. Y también tiene implicaciones en el campo de la inteligencia artificail. Supongamos que queremos un sistema rápido de recuperación de información, como un buscador en la red. El buscador será mejor cuanto mayor sea su capacidad de reconocer lo que buscamos a partir de la lista de palabras que le proporcionamos. Con el cálculo proposicional clásico, nuestro buscador sólo hallará los sitios que coincidan con las palabras suministradas. Cualquier mínima variación ortográfica supone una NO coincidencia. Sin embargo, con la lógica borrosa hallará sitios que coincidan con las palabras en grados variables, y proporcionarnos más información de la deseada.

En general la lógica borrosa es más útil a la hora de reconocer patrones, con máquinas que nos digan cuándo una cosa es imilar a otra. La red neuronal es un dispositivo que funciona con lógica borrosa.

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