Sus esfuerzos por encontrar un mecanismo para demostrar la consistencia sólo condujeron a resultados preliminares,pero llamaron la atención de otro joven austríaco, Kurt Gödel (1906-1978), el mayor lógico del siglo XX. A los 23 años demostró que todas las proposiciones del cálculo de predicados de Russell son verdaderas, pero también que todo enunciado verdadero es demostrable en dicha lógica. POr decirlo en jerga: Es "tanto consistente como completa".
La más influyente de las paradojas autorreferentes modernas es el segundo teorema de la incompletitud de Gödel. Cuando estaba estudiando con Hilbert, le ayudó en su proyecto de hallar demostraciones de la consistencia aritmética mediante su método recursivo. Para su sorpresa, decubrió que era imposible obtener tales pruebas. Gödel sugirió codificar los enunciados lógicos y matemáticos como números. Asignó un número a cada símbolo de la lógica de Russell y luego insertó los números en una fórmula matemática que generaba un único número para cada secuencia posible de símbolos de dicha lógica. En su sistema podemos traducir del siguiente modo:
p 112
- Suponemos que la oración es verdadera. Tenemos un enunciado verdadero de la lógica de Russell que no puede demostrarse. POr tanto, la lógica de Russell es incompleta.
- Si la oración es falsa, entonces es demostrable, pero entonces es demostrable un enunciado falso, por lo que es inconsistente.
Nada de todo esto resultaba atractivo a Russell ni a Hilbert, que buscaban un sistema que produjese todas las oraciones verdaderas de las matemáticas y sólo esas. Ahora se daban cuenta de que ese objetivo era inancanzable. Gödel muestra que las ramas básicas de la matemática pueden formalizarse mediante un conjunto de axiomas conforme al programa de Hilbert. Pero las conclusiones de su teorema son también aplicables a ellas. Así, la matemática elemental es incompleta o inconsistente: O bien hay un cálculo verdadero que no puede probarse o bien puede probarse uno falso.
El Teorema de Gödel puede generalizarse para abarcar cualquier lenguaje formal suficientemente complejo en el que exista un cierto orden entre las diferentes oraciones. Pero luego demostró que las matemáticas son incompletas: Ningún repertorio de axiomas es capaz de dar cuenta de todas las verdades de la aritmética. Que haya oraciones verdaderas de las matemáticas que no pueden demostrarse es alarmante para quien esté interesado en dotar a las matemáticas de una base firma. Enterró el sueño decimonónico de deducir todas las matemáticas a partir de un simple y riguroso conjunto de axiomas. La lógica ya no tiene esperanza de fundamentar la matemática. Eso sí, siempre que los matemáticos muestren que sus sistemas son consistentes al precio de ser incomletos pueden continuar generando expresiones matemáticas.
El teorema de Gödel nos muestra algo muy similar cuando se aplica a la computación. Empleando su sistema de numeración, toda demostración matemática formal puede transformarse en un cálculo numérico relativamente simple. Así, a cada fórmula le corresponde un número particular. Entonces, si existe una fórmula que no puede demostrarse, existe un número que no puede calcularse. Mediante un ardid puramente matemático demostró que su computadora ideal no podía calcular la mayoría de los números: Son más los números irracionales como Pi que los racionales como 7. El teorema de la incompletitud es aplicable a las computadoras. Los números incomputables se corresponden en cierto modo con programas que nunca dan resultados. El teorema de la incompletitud de Gödel implica que no puede haber un programa que emplee un número finito de pasos para comprobar si un programa alcanzará la conclusión o quedará interrumpido: El problema de la interrupción. Tal programa equivaldría a un sistema en el que poder computar sistemáticamente todos los números, lo cual es imposible.
El Límite de la demostración de Gödel: No ofrece su método garantías absolutas de que no podamos usar el método de Hilbert para probar la consistencia y l acompletitud de la aritmética, sólo de que tal prueba no es susceptible de representación en el seno de la aritmética. Ahora bien, nadie hasta hoy sabe qué aspecto debería tener tal demostración ni cómo elaborarla.
No puede usarse para decir que la intuición misteriosa debe reemplazar la demostración convincente, ni es una prueba de que existan límites inherentes al razonamiento humano, ya que nadie sabe si éste cae bajo las reglas de Hilbert. Ello no implica que renunciemos a toda esperanza de explicar el pensamiento en términos físicos, pero sí pone en duda la posibilidad de cualesquiera sistemas de reglas que formalicen cualquier posible oración.
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