miércoles, 9 de diciembre de 2009

Historia de la logica: Russell


La paradoja de Russell

Un joven inglés llamado Bertrand Russell señaló que el uso fregeano de los conjuntos conduce a una contradicción:

- ¿Es posible que un conjunto pertenezca a otro?
- Sí, el conjunto de los números 1 y 2 está contenido en el los números 1, 2 y 3.
- ¿Los conjuntos pueden pertenecer a sí mismos?
- Sí. Todo miembro del conjunto es un miembro del conjunto. El primer y el segundo conjunto son el mismo, por la ley de Leibniz.
- ¿Podemos tener también el conjunto de los conjuntos, como el conjunto de los conjuntos con más de 3 miembros? Si la respuesta es sí, entonces qué pasa con el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos?

Según Russell, si el conjunto es miembro de sí mismo, por definición no puede ser miembro de sí mismo. Pero si no es miembro de sí mismo, entonces ES miembro de sí mismo. Luego es y no es miembro de sí mismo, lo cual es una contradicción.

No obstante Russell concedió mérito a la obra de Frege. Con Whitehead trató de fundamentar las matemáticas en los conjuntos y en la lógica evitando contradicciones como las de Frege. En la filosofía el problema era el propio lenguaje, pues la gramática superficial de las oraciones oculta su auténtica forma lógica. La gramática superficial (la escolar de nombres, verbos y adjetivos) esconde la verdadera forma de la oración. Reintrodujo los predicados en el cálculo y desarrolló la concepción fregeana de los cuantificadores. Esto le permitió distinguir “todos/as” de “algunos/as” y eliminó la necesidad de analizar la existencia com predicado, lo cual causaba muchos problemas. Formalizó el cuadrado de las oposiciones formulando las relaciones entre cuantificadores.

Decir “todas las aves tienen alas” y que “no hay una sola cosa que sea un ave y no tenga alas”, es decir lo mismo. “Todos/as” y “hay al menos un/a” son intercambiables con símbolos de negación en los lugares pertinentes.

Tomemos esta oración: “El actual rey de Francia es calvo”.

¿Es verdadera o falsa? Podría ser verdadera, falsa o ninguna de las dos cosas. Pero si es falsa, ¿significa que el actual rey de Francia no es calvo?. Por supuesto, si no es ni verdadera ni falsa entonces la oración no declara nada en absoluto, no dice nada acerca del mundo.

Russell pensaba que esta oración está compuesta en realidad por 3 afirmaciones:

1. Hay un actual rey de Francia.
2. Hay exactamente un actual rey de Francia.
3. El actual rey de Francia es calvo.

Esta afirmación combinada sólo será verdadera si las 3 afirmaciones lo son. Sabemos que la primera condición es falsa, así que la afirmación combinada es también falsa. Pero esto no convierte en verdadera la afirmación opuesta, ya que puede analizarse así:

1. Hay un actual rey de Francia.
2. Hay exactamente un actual rey de Francia.
3. El actual rey de Francia NO es calvo.

Y esto es también falso.

Reglas para las conectivas:

La aplicación del método axiomático alcanzó su madurez en los Principia Mathematica. El sistema de este libro supone un serio aspirante a fundamentar la matemática en la teoría de conjuntos. El problema es que muchos de los axiomas que emplea son complejos; Algunos son menos evidentes de lo que intentan demostrar, por ejemplo: 1 + 1 = 2. Hoy sigue vigente una versión refinada del método aquí empleado bajo el nombre de "deducción natural". Podemos construir cualquier fórmula lógica bien formada si conocemos las circunstancias en las que podemos introducir o eliminar una nueva conectiva a partir de "^", "v" y "¬".

De esto a un conjunto de reglas que establezcan cuándo es lícito introducir una conectiva sólo hay un paso. Cada conectiva tiene una regla para su introducción y una para su eliminación. Por ejemplo, dada una proposición q, si podemos mostrar que considerarla verdadera lleva a una contradicción (el método de la reductio), podemos introducir "¬" para convertirla en "¬q". Eliminamos una negación si llegamos a una doble negación, pues ¬¬p (no es el caso de que no es el caso de que el cielo sea gris) es lo mismo que decir p (el cielo está gris).Pese a sus evidentes virtudes, el cálculo de la deducción natural sigue sin poder mostrar por qué es válido el primero de los silogismos aristotélicos, ya que transforma enunciados completos en símbolos. Así, "todos los hombres son mortales" se convierte en "p". Dado que la relación lógica entre enunciados depende de los términos concretos de las oraciones, no hay modo de mostrar la dependencia lógica entre los 3 símbolos del primer silogismo. En una tabla de verdad no obtendríamos una tautología. Por ello, Russell reintroduce la distinción tan aristotélica entre sujetos y predicados: Los objetos y lo que se dice sobre ellos. Lo que reflejan los símbolos lógicos no son las palabras completas sini la estructura de las oraciones.

Cálculo de predicados. Las letras minúsculas representan objetos: a, b, c...Son objetos con nombre propio. Miestras x, y, z representan objetos aún no especificados. Las mayúsculas representan predicados.

También usa símbolos especiales para representar cuantificadores: "^x" representa a "todos/as" y "Vx" representa a "hay al monos un/a". El resto de conectivas se comportan como lo hacían en el cálculo proposicional. Así podemos dar cuenta de cualquier silogismo:

- Ningún humano es mortal. Sócrates es humano. Sócrates es mortal.

Se traduce como:

- ^x ¬(Hx ^¬Mx), Hs, Ms

podemos demostrar este silogismo, pero no podemos construir tablas de verdad para comprovbar fórmulas del cálculo de predicados: No están equipadas para captar la relación entre la verdad de los enunciados generales y la verdad de los subsumibles en ellos.

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