Los cuantificadores de Frege
La lógica moderna se inicia en 1879 con la publicación de la Begriffsschrift, donde Gottlob Frege introduce un cálculo proposicional que combina la teoría de la demostración de Leibniz con una presentación de las conectivas lógicas. Es como retomar a Crisipo…
La más significativa de las invenciones de Frege es el cuantificador. Estos son palabras como “todos/as”, “algunos/as”, “muchos/as”, y “la mayoría de”, que nos permiten decir cosas sobre grupos de objetos. Por ejemplo: Algunos hombres son calvos. Para Aristóteles eran sujetos de predicación en un enunciado que puede conducir a absurdos, como en este diálogo de “Alicia en el país de las Maravillas”:
- A nadie veo en el camino – dijo Alicia.
- Ojalá tuviera unos ojos así – se lamentó el rey. -Ser capaz de ver a nadie. Y además a esa distancia. Vaya… Bastante hago con ver gente real.
Frege evita este problema tratando los cuantificadores como entidades lógicamente independientes. Usando “todos/as” y “hay al menos un/a” logra traducir “a nadie veo en el camino” como:
- Para todas las personas, no puedo verlas en el camino.
- No hay al menos una persona tal que pueda verla en el camino.
Es poco elegante pero evita disparates lógicos como el de Alicia. La palabra nadie no tiene por qué referirse a un objeto.
También propuso el principio del contexto, según el cual la unidad mínima con la que puede tratar la lógica es un enunciado con sujeto y predicado, o proposición. Sólo en el contexto de una proposición como un todo conocemos los significados de las palabras que la componen. Así, para la proposición “tengo frío”, puede ser proferida por diferentes personas en diferentes contextos, y resultará muy diferente dependiendo de las circunstancias: Expresa algo muy diferente cuando lo dice Sócrates después de beber la cicuta que cuando lo dice un niño pequeño en la nieve.
Como la proposición es la unidad de la lógica de Frege, ésta se conoce como cálculo proposicional. Con él podemos evaluar la verdad de proposiciones complejas que empleen conectivas. Frege también demostró que las propias conectivas guardan relación con la verdad. Una proposición con una conectiva puede transformarse en una expresión que emplee las otras conectivas “y” y “no” sin modificar la verdad del enunciado complejo:
“Si eres un ave, entonces tienes alas” puede reformularse como “no puedes ser un ave y no tener alas”.
Su lógica combina las virtudes de Crisipo (analizar las oraciones en términos de otras simples lógicamente conectadas) y Leibniz (demostrar un enunciado a partir de otro mediante sinónimos) y abre la vía al desarrollo de estas ideas para incluir la equivalencia de diferentes conectivas.
Pero la gran pasión de Frege fue intentar deducir las matemáticas de la lógica. Estaba en una época en la que se trataba de basar las matemáticas en un conjunto de reglas de las que derivar cualquier tipo de enunciados. Frege pensaba que su cálculo proposicional serviría para esto pero no podía formular números con sus cuantificadores. Tomó pues solución mediante la teoría de conjuntos de Cantor: Todo grupo tiene un número específico de elementos que puede compararse con el número de elementos de otros conjuntos. Los elementos comunes de 2 conjuntos es el conector “Y”, cualquier elemento que sea miembro de un conjunto o del otro es el conector “O”. Y finalmente, podemos usar todo aquello que no es miembro de uno de los conjuntos como el conector “NO”.
Partiendo de sólo 3 conectivas (y, o, no) podemos expresar toda proposición lógica posible. “Si a entonces b” es lo mismo que “no puede darse el caso de que a y no b”:
- Si ella me besa me convertiré en príncipe = no puede darse el caso de que ella te bese y no te conviertas en príncipe.
La más significativa de las invenciones de Frege es el cuantificador. Estos son palabras como “todos/as”, “algunos/as”, “muchos/as”, y “la mayoría de”, que nos permiten decir cosas sobre grupos de objetos. Por ejemplo: Algunos hombres son calvos. Para Aristóteles eran sujetos de predicación en un enunciado que puede conducir a absurdos, como en este diálogo de “Alicia en el país de las Maravillas”:
- A nadie veo en el camino – dijo Alicia.
- Ojalá tuviera unos ojos así – se lamentó el rey. -Ser capaz de ver a nadie. Y además a esa distancia. Vaya… Bastante hago con ver gente real.
Frege evita este problema tratando los cuantificadores como entidades lógicamente independientes. Usando “todos/as” y “hay al menos un/a” logra traducir “a nadie veo en el camino” como:
- Para todas las personas, no puedo verlas en el camino.
- No hay al menos una persona tal que pueda verla en el camino.
Es poco elegante pero evita disparates lógicos como el de Alicia. La palabra nadie no tiene por qué referirse a un objeto.
También propuso el principio del contexto, según el cual la unidad mínima con la que puede tratar la lógica es un enunciado con sujeto y predicado, o proposición. Sólo en el contexto de una proposición como un todo conocemos los significados de las palabras que la componen. Así, para la proposición “tengo frío”, puede ser proferida por diferentes personas en diferentes contextos, y resultará muy diferente dependiendo de las circunstancias: Expresa algo muy diferente cuando lo dice Sócrates después de beber la cicuta que cuando lo dice un niño pequeño en la nieve.
Como la proposición es la unidad de la lógica de Frege, ésta se conoce como cálculo proposicional. Con él podemos evaluar la verdad de proposiciones complejas que empleen conectivas. Frege también demostró que las propias conectivas guardan relación con la verdad. Una proposición con una conectiva puede transformarse en una expresión que emplee las otras conectivas “y” y “no” sin modificar la verdad del enunciado complejo:
“Si eres un ave, entonces tienes alas” puede reformularse como “no puedes ser un ave y no tener alas”.
Su lógica combina las virtudes de Crisipo (analizar las oraciones en términos de otras simples lógicamente conectadas) y Leibniz (demostrar un enunciado a partir de otro mediante sinónimos) y abre la vía al desarrollo de estas ideas para incluir la equivalencia de diferentes conectivas.
Pero la gran pasión de Frege fue intentar deducir las matemáticas de la lógica. Estaba en una época en la que se trataba de basar las matemáticas en un conjunto de reglas de las que derivar cualquier tipo de enunciados. Frege pensaba que su cálculo proposicional serviría para esto pero no podía formular números con sus cuantificadores. Tomó pues solución mediante la teoría de conjuntos de Cantor: Todo grupo tiene un número específico de elementos que puede compararse con el número de elementos de otros conjuntos. Los elementos comunes de 2 conjuntos es el conector “Y”, cualquier elemento que sea miembro de un conjunto o del otro es el conector “O”. Y finalmente, podemos usar todo aquello que no es miembro de uno de los conjuntos como el conector “NO”.
Partiendo de sólo 3 conectivas (y, o, no) podemos expresar toda proposición lógica posible. “Si a entonces b” es lo mismo que “no puede darse el caso de que a y no b”:
- Si ella me besa me convertiré en príncipe = no puede darse el caso de que ella te bese y no te conviertas en príncipe.
La teoría de la demostración incluye varios métodos para demostrar lo que se sigue lógicamente de una fórmula (una serie de símbolos conectados mediante elementos de sintaxis lógica) atribuyendo definiciones rígidas a los elementos de la sintaxis lógica. La sintaxis lógica afectará a la verdad de un enunciado, así que Frege definió los elementos de sintaxis lógica en elementos de verdad y falsedad. Por ejemplo, la conectiva "^" en:
El cielo está gris ^ llueve
Es verdadera sólo si las oraciones "el cielo está gris" y "llueve" son ambas verdaderas.
La idea de definir las conectivas lógicas en términos de verdad y falsedad triunfó entre los lógicos, de tal modo que nadie ha estimado conveniente modificarla. Y cuando Frege habla de la verdad de "^", el significado de la oración es irrelevante. Lo importante es que sabemos si la oración es verdadera o falsa. El comportamiento de la conectiva no se ve afectado por lo que dice la oración, así qeu por ello se puede emplear símbolos como p y q para sustituir oraciones completas, cosa que se puso rápidamente de moda entre los lógicos.
El cielo está gris ^ llueve
Es verdadera sólo si las oraciones "el cielo está gris" y "llueve" son ambas verdaderas.
La idea de definir las conectivas lógicas en términos de verdad y falsedad triunfó entre los lógicos, de tal modo que nadie ha estimado conveniente modificarla. Y cuando Frege habla de la verdad de "^", el significado de la oración es irrelevante. Lo importante es que sabemos si la oración es verdadera o falsa. El comportamiento de la conectiva no se ve afectado por lo que dice la oración, así qeu por ello se puede emplear símbolos como p y q para sustituir oraciones completas, cosa que se puso rápidamente de moda entre los lógicos.
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