Historia de la logica: Leibniz

Durante 2000 años los lógicos propusieron cada vez más silogismos con un desorden creciente que impedía el correcto uso de la lógica. Parecía un sinfin de silogismos sin órden hasta que Gottfried Leibniz introdujo un método para este desconcierto. Sugirió tratar los enunciados como las ecuaciones en el álgebra, que emplean el signo “=”.

Por ejemplo: x + y = z.

Leibniz introdujo el signo de igualdad para decir que “a” es idéntico a “b”. 2 cosas son idénticas si todo cuanto puede decirse de una, puede decirse de la otra. Si podemos decir exactamente lo mismo de 2 cosas, entonces son idénticas. a = b.

Esto es la Ley de Leibniz: a es b en el sentido de “todos los a son b”. Y si a es idéntico a b, podemos sustituir el símbolo a en cualquier enunciado por el símbolo b preservando el valor de verdad de ese enunciado. Así:

- Sócrates es un hombre no casado.
- Un hombre no casado es un soltero.
- Luego Sócrates es un soltero.

Enunciando las leyes de Leibniz:

- a = a: Sócrates es Sócrates.
- Si a es b, y b es c, entonces a es c: Todos los hombres son mortales, Sócrates es un hombre, por tanto Sócrates es mortal. Hasta aquí es idéntico al primer silogismo aristotélico.
- a = no (no a): Si Sócrates es mortal, entonces Sócrates no es inmortal.
- a es b = no b es no a : Sócrates es un hombre significa que si no eres un hombre, no eres Sócrates.

A partir de estas leyes Leibniz podía probar cualquier silogismo. En lugar del cuadrado de oposiciones propuso una teoría auténtica de la verdad que deduce conclusiones a partir de leyes preestablecidas sustituyendo entre sí símbolos idénticos.

Su método incluye la reductio ad absurdum, una herramienta simple pero de gran potencia. En ella suponemos que un enunciado es verdadero, y se mira qué conclusiones se pueden sacar de él. Si en esas conclusiones hay una contradicción, entonces el enunciado inicial es falso, pues las contradicciones siempre son falsas. Con este método podemos decir si un enunciado es verdadero aunque no sepamos construir una demostración del mismo. Podemos decir que un enunciado es verdadero demostrando que su negación lleva a una contradicción.

Con Leibniz llega un nuevo organon. La lógica ya no es un instrumento para construir argumentos convincentes, sino un sistema de reglas de pensamiento. Incluso incluye a Dios en este método, pues afirma que ni Dios puede crear un mundo en el que fuese verdadera una contradicción. Semejantes afirmaciones no eran muy bien recibidas por la intransigente iglesia de la época (siglo XVII) y fue tildado de hereje.

El método de demostración:

1. El primer axioma es la famosa ley de identidad: a =a.
2. La ley de no contradicción: Ningún enunciado es verdadero y falso al mismo tiempo, o "¬(p^¬p).
3. La ley del tercio excluso: Todo enunciado es o bien verdadero o bien falso, o "p V ¬p".
4. Una ley de sustitución, que nos permite sustituir una expresión por otra manteniendo las mismas condiciones de verdad: (a es b) y (b es c) = (a es c)

Tomadas conjuntamente, las leyes de no contradicción y de tercio excluso garantizan que cualquier enunciado que pueda formularse en lógica debe tener un sólo valor de verdad: O bien es verdadero, o bien es falso. Puedo deducir sin temor a equivocarme que un enunciado es falso cuando no es verdadero. Algo bastante evidente. Con esto y la convicción de que una contradicción nunca es verdadera, tenemos la base de la Reductio ad absurdum: Podemos rechazar como falso cualquier enunciado que conduzca a una contradicción.

Supongamos que tenemos una contradicción tal como p^¬p y queremos demostrar q, que puede representar cualquier enunciado que deseemos (Como "los elefantes sólo beben agua embotellada"). Todo lo que necesitamos hacer es aplicar el método de la reductio a ¬q.

Así, supongamos ¬q. citamos la contradicción p^¬p, que viola el segfundo axioma de Leibniz. El método de la reductio nos dice que rechacemos el supuesto, que en este caso era ¬q. Si rechazamos el supuesto nos queda ¬¬q, por lo que mediante el tercer axioma obtenemos que q es verdadera. Es un resultado extraño. Nos permite demostrar cualquier cosa, incluso algo cuya verdad no dependa de la verdad de la contradicción usada para demostrarlo.