miércoles, 9 de diciembre de 2009

Historia de la logica: Hilbert


Los intentos de Frege y Russell de reducir las matemáticas a la lógica y la teoría de conjuntos forman parte de las múltiples tentativas de comienzos del siglo XX de fundamentar la matemática sobre sólidas bases lógicas.

Otro intento fue el de David Hilbert (1862-1943), iniciador de la teoría de la demostración o metamatemática.

A Hilbert le interesaba lo que tenían en común las diferentes ramas de la matemática. Toda rama matemática parte de unos axiomas o enunciados cuya verdad se da por supuesta, y a partir de los cuales pueden demostrarse todos los demás enunciados de dicha rama. En la medida en que los axiomas no se contradigan entre sí, podrán usarse para construir una posible rama de las matemáticas. Buscaba encontrar un modo de demostrar la consistencia de cualquier lista de axiomas.

De cualquier rama de las matemáticas que superara la prueba de Hilbert quedaría demostrado que descansa sobre una base sólida.

En términos generales, su método se basa en la idea de que podríamos establecer de manera incuestionable la consistencia de la geometría si pudiéramos mostrar que nopodemos derivar de sus axiomas algo equivalente a 1 = 0, que es un disparate. Digamos que es una nueva versión de la reductio. Buscaba una versión matemática de la teoría de la demostración. En aritmética, cualquier fórmula bien formada puede ser la base para cualquier otra fórmula bien formada, siempre que se sigan las reglas. Partiendo de 1 + 1 podemos llegar a 1 + 1 + 1.

En este sentodo, en el castellano podemos continuar una frase aplicando palabras como "y": Puedes traerme unas uvas ... y lejía ... y pan ...?

Esta aplicación continuada se denomina recursividad y resulta vital para la construcción de modelos. Nos permite construir un número infinito de oraciones a partir de unas pocas reglas sencillas y un vocabulario finito.

Hilbert tenías una concepción de las matemáticas que denominaba formalismo. La idea es que las cosas de las que hablan las matemáticas no son más que símbolos. Estos símbolos carecen de significado por sí mismos: Lo sabemos todo sobre ellos cuando comenzamos a manipularlos. Estableció reglas recursivas para explicar sus posibles interacciones.

La más célebre entidad matemática es el número. Todos los números enteros positivos pueden construirse a partir de 2 sencillas reglas:

- 1 es un número.
- Cualquier número + 1 es un número.

Dado que los matemáticos ya saben construir todo número con la ayuda de los enteros positivos y cero, sólo precisamos estas 2 reglas para construir cualquier número. Las reglas de Hilbert son a la par simples y efectivas: Tratan las matemáticas como un lenguaje formal compuesto de un vocabulario y una sintaxis. La sintaxis nos permite crear oraciones del lenguaje sin saber lo que significan. El vocabulario no es más que unos espacios en blanco con propiedades gramaticales: Nombres, verbos y demás. Igual que sabemos poner un nombre junto a un verbo para formar una oración completa en castellano, aún sin saber de quién es dicho nombre.

Consideremos un lenguaje modelo formado sólo por los siguientes términos:

- Predicados: Evolucionó a
- Nombres: Homo sapiens, homo sapiens sapiens, homo erectus, homo habilis.

Y las sencillas reglas gramaticales:

- Oración = nombre, predicado, nombre
- Oración = oración, "el cual", predicado, nombre.

La primera regla muestra cómo construir una fórmula bien formada con la secuancia nombre, predicado, nombre, como "el homo erectus evolucionó a homo sapiens".

La segunda regla muestra cómo construir una nueva fórmula partiendo de una oración preexistente y añadiendo la secuencia "el cual", predicado, nombre: "El homo erectus evolucionó a homo sapiens, el cual evolucionó a homo sapiens sapiens".

Con este modelo podemos construir un número infinito de oraciones mediante la aplicación de la segunda regla. Sólo unas pocas de estas oraciones serán verdaderas, pero lo importante es el entendimiento de este esquema.

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