Las paradojas

Como sucede en la mayoría de las cosas en lógica, la teoría de la demostración parece árida y oscura. La vertiente práctica de sus aplicaciones como método de demostración lógica es limitada. Pero constituye el armazón de buena parte de nuestra ciencia, las matemáticas y la tecnología computacional. Una de las virtudes de la demostración es la capacidad de garantizar la repetición de un mismo resultado cada vez que se aplica a una secuencia particular de símbolos, más de lo que puede decirse de la mayoría de los experimentos científicos. No obstante, si la secuencia de símbolos contiene una contradicción, el método pierde su eficacia, pues de una contradicción se siguie cualquier cosa. Así, cuando Russell descubió una paradoja en el sistema de Frege hizo que todos rechazasen el sistema. La paradoja era una contradicción inevitable en el seno del sistema. Frege sirvió de lección a los lógicos quienes tratan desde entonces de evitar las paradojas.

Una paradoja es un enunciado que implica su negación, una pesadilla para los lógicos porque, con independencia de que consideremos verdadera o falsa la oración, siempre llegamos a una contradicción. Esto hace imposible aferrarse a la ley de no contradicción.

"Paradoja" procede del griego. En la antigua Grecia los escépticos deseaban mostrar que la razón no podía conducir al conocimiento absoluto, y la paradoja era su arma principal. El más célebre de estos réprobos fue Zenon de Elea (495-430 a.C). Creó esta paradoja:

Esta oración es falsa.

Si la oración es cverdadera, entonces es falsa. Pero si es falsa, entonces ha de ser verdadera. Suponer que es verdadera o falsa implica llegar a una contradicción. Es la más célebre de una serie de paradojas autorreferentes.

Un intento de evitar la paradoja del mentiroso pasa por excluir de los sistemas lógicos toda oración autorreferente, pero esto nos lleva a 2 problemas:

1. Ciertas oraciones autorreferentes son inocuas, como por ejemplo: "Esta oración consta de seis palabras".
2. Podemos construir un aparadoja que funcione como la del mentiroso sin ser autorreferente: "La siguiente oración es falsa. La oración anterior es verdadera".

La paradoja de Russell contra Frege es como la del mentiroso, pero en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Russell compuso una compleja maquinaria lógica para abordar el problema, que llamó la "Teoría de tipos". Deberíamos distinguir diferentes tipos de conjuntos: Conjuntos cuyos miembros son objetos; Conjuntos cuyos miembros son conjuntos, y así sucesivamente. Podemos proseguir indefinidamente para obtener conjuntos cuyos miembros son conjuntos de conjuntos, y cosas por el estilo. Análogamente, podemos usar predicados referidos a objetos y predicados referidos a predicados, como "ser bella es peligroso".

Según Russell, si prohibimos los cruces entre tipos se resuelve su paradoja. El conjunto problemático es un conjunto de conjuntos, por ello es un tipo diferente al de los conjuntos que lo integran.No hay paradoja porque implicaría cruzar tipos.

Lamentablemente, aplicar esta solución a la paradoja del mentiroso no nos basta. Al analizar "esta oración es falsa", Russell pensó que constaba de 2 oraciones:

1. Esta es una oración.
2. Esta oración es falsa.

Así, "esta oración es falsa" es un predicado que dice algo acerca de una oración, es decir, acerca de un predicado y de su objeto. Para la teoría de tipos el problema estriba en que el mentiroso tiene 2 predicados de diferentes tipos, una situación de la que no puede dar cuenta. Da una solución al problema pero a costa de volver el problema aún más difícil de manejar. El nuevo sistema impide tantos cruces entre tipos que llegó a ser imposible demostrar hasta las proposiciones más elementales de la teoría de conjuntos.

La solución que aportó Tarski fue mediante su distinción entre el lenguaje "sometido a estudio" y el "metalenguaje". Según Tarski, "es verdadero" y "es falso" son predicados del metalenguaje.

Cuando el mentiroso dice "esta oración es falsa" esta haciendo un uso indebido del predicado "es falsa". Lo trata como si fuese parte del lenguaje objeto, pero en realidad es aplicable sólo al metalenguaje. Una oración no puede contener su propio predicado de verdad. "esta oración es falsa" no forma parte del lenguaje objeto en mayor medida de lo que "la nieve es blanche" forma parte del castellano.

Esta solución es similar a la de Russell, si bien no permite que las oraciones del mismo tipo hablen de su propio valor de verdad. Así como hay infinitos tipos, también hay lenguajes que estudian lenguajes que estudian el metalenguaje, y así indefinidamente.

Pero una pardoja como "La oración siguiente es falsa. La oración anterior es verdadera" para Tarski es un problema. Una de las oraciones parece pertenecer tanto al metalenguaje como al metalenguaje con respecto al metalenguaje:

• "La oración siguiente es falsa" habla de una oración, así que como míniumo pertenece a un metalenguaje.
• "La oración anterior es verdadera" debería ser el objeto de discusión, pero dice algo sobre la oración del metalenguaje. En resumidas cuentas, parece pertenecer a 2 lenguajes a la vez.

El mentiroso aún atormenta a filósofos y lógicos, que de cuando en cuando aportan nuevas soluciones.

También tenemos las Heterologías: Son palabras que no son lo que dicen. POr ejemplo, "largo" no es largo, "grande" no es grande, etc. Esto nos lleva a si "heterológico" es heterológico o no. Si no es heterológico, entonces es lo que dice ser. Pero dice de sí misma que es heterológica. Y si lo es, entonces no es lo que dice, pero de nuevo nos dice ser heterológica. Luego es y no es heterológica. Podemos decir que es una paradoja.

La más influyente de las paradojas autorreferentes es el segundo teorema de la incompletitud de Gödel, del que ya he hablado antes.

Y nos queda la paradoja del movimiento de Zenon. Parece que el hombre estaba bastante creativo en esto de las paradojas... Zenon deseaba mostrar la imposibilidad del movimiento. Cuando vemos moverse algo, nuestros sentidos nos engañan. El principal argumento de Zenomn consistía en que, si existiese el movimiento, nos llevaría a una contradicción: Par que Aquiles (famoso en la antiguedad por sus "pies ligeros") alcanzase a una tortuga, de proverbial lentitud, primero debería recorrer la MITAD de la distancia que le separa de la tortuga. Luego debería recorrer la mitad de la distancia restante, y así hasta el infinito. Por tanto, llevaría una cantidad infinita de tiempo alcanzar a la tortuga.



Zenon llegaba a esta conclusión partiendo de premisas verdaderas. ¿Quién negaría que para llegar de A a B recorremos primero la mitad?. Pero nuestros sentidos nos dicen que alcanzamos y pasamos lugares todo el tiempo. Por tanto, hemos de concluir que nuestros sentidos nos engañan. La paradoja depende de un supuesto de los matemáticos anteriores a Newton y Leibniz. Suponen que toda suma de un número infinito de números positivos resultaría infinita. Es facil pensar algo así: La paradoja de Zenon es sumar 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16.... Esto sería infinito, y jamás llegaríamos al lugar deseado. Pero Newton y Leibniz descubrieron casi a la vez es que la suma de un número positivo de enteros NO es igual a infinito. Ciertos cálculos infinitos tienen la propiedad de convergir en los límites, así que con cada adición subsiguiente nos vamos acercando a un número particular. Dado un número infinito de cálculos, podemos llegar finalmene a un número. Y lamentablemente para Zenon, la suma de 1/2 + 1/4 + 1/8... es un cálculo de este tipo. Con el nuevo método puede mostrarse fácilmente que la suma final de este cálculo es 1. Costó 2000 años, pero Aquiles acabó por ganar a la tortuga. Vaya carrera....